Visualizar la música, oír las matemáticas (4)

Contribución a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas.

 

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Preliminares

En este artículo vamos a explorar dos transformaciones más, también clásicas, y gracias a ellas más las ya vistas estudiaremos otras formas de construir obras.

Aumentación y disminución

Si bien estas técnicas son de enorme antigüedad, ciertamente no menor a la de las ya estudiadas, no se suelen considerar dentro de las transformaciones temáticas “oficiales”. Probablemente porque el tipo de cambio que efectúan sobre el material dado implica cierta distorsión.

La aumentación consiste en prolongar las duraciones del material original, haciendo así que resulte más largo. La técnica clásica de aumentación multiplica los valores por dos (aumentación simple) o por cuatro (aumentación doble). Estilos previos a la tonalidad, y ciertamente los posteriores son mucho más ricos en las posibilidades de multiplicación, llegándose a números fraccionales (Messiaen) y hasta a la raíz cuadrada de dos (Nancarrow).

Arriba podemos ver una analogía gráfica de la aumentación, en la parte inferior de la ilustración. Como se ve, implica cierta distorsión, muy en la línea de Botero. Quizá esta distorsión es la que ha hecho que la técnica no se considere tradicionalmente integrada con las transformaciones clásicas.

 

Como ejemplo veamos en primer lugar el canon por aumentación y moviemiento contrario del Arte de la Fuga de Bach. Observad que ya se juntan tres transformaciones diferentes: transporte (el canon se efectúa a la cuarta inferior), inversión y aumentación.

Esta acumulación de transformaciones hace que a veces haya quien piense que tanta técnica no puede ser buena y ha de ir en detrimento de las especiales cualidades sensibles del compositor. Aparte de repetir, como suelo, que menos mal que no se aplican tales criterios a los arquitectos, suelo añadir el canon por aumentación y movimiento contrario de la Ofrenda Musical, que puede muy bien ser una de las piezas más conmovedoras que conozco.


La disminución sería exactamente la técnica inversa: acortamos las duraciones de las notas. Una vez más la técnica tradicional emplea potencias de dos, dando a las notas la mitad de su valor (disinución simple) o la cuarta parte (disminución doble). Y una vez más, estilos anteriores y posteriores al periodo tonal resultan mucho más ricos en el tipo de transformaciones temporales que permiten.

Si antes nuestro ejemplo pictórico fue Botero, para la disminución bien podría ser Giacometti.

Vamos a ejemplificar todo esto mediante el canon VII de “El arte de la Fuga“, que emplea las dos técnicas. Hay que comentar que estos tipos de canon aportan una dificultad especial: el canon por aumentación va alejando cada vez más el antecedente del consecuente, con el potencial riesgo de no acabar nunca. El canon por disminución en cambio los acerca cada vez más, con lo que el final puede producirse de maner abrupta.

Forma musical, de nuevo

Hasta ahora todos los ejemplo que hemos puesto han sido de cánones, para una mayor facilidad. Sin embargo están lejos de ser la única manera de crear forma musical, o incluso la más usada.

Mucho más frecuente durante el periodo tonal es el llamado comportamiento motívico-temático,  que viene a consistir en que usamos fragmentos musicales, a modo de piezas de puzzle para construir nuestras líneas melódicas. Estos fragmentos se tratan habitualmente por medio de transportes, inversiones, retrogradaciones, inversiones retrógradas, aumentaciones y disminuciones (¿os suenan?).

Con las técnicas hasta ahora tratadas estamos en condiciones de analizar melódicamente obras incluso muy complejas, cualquier fuga, la Passacaglia en do menor de Bach…

 

Observad, por ejemplo, esta partitura, ya un clásico de Potsdam 1747. Se trata de la invención número 1 de Bach.

  • Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor—.
  • Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
  • Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —aumentación—.
  • Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
  • Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
  • Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

La podemos escuchar aquí, interpretada por el muy añorado Gustav Leonhardt.

Hasta ahora hemos visto pues como unos procedimientos que son modelables según la topología se encuentrarn en la mismísima raíz de la música occidental. Los ejemplos podrían ser innumerables. Vamos a dedicar los siguientes artículos a procedimientos menos comunes, o menos estudiados.

 

 

Índice de toda la serie
Visualizar la música, oír las matemáticas (1)
Visualizar la música, oír las matemáticas (2)
Visualizar la música, oír las matemáticas (3)
Visualizar la música, oír las matemáticas (4)
Visualizar la música, oír las matemáticas (5)
Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)

Visualizar la música, oír las matemáticas (3)

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Preliminares

En el artículo anterior comentábamos el concepto de transformación temática en música, y dejábamos entrever que iba a servir no sólo para construir cánones (única forma musical que hemos tratado, por levemente que sea, hasta ahora) sino para la propia construcción de líneas melódicas. En este artículo exploraremos con detenimiento muchas de estas opciones.

Las cuatro transformaciones: un juego con espejos que se deslizan

Tomo prestado el título a Borges para algo en lo que el maestro argentino seguramente no pensó: las llamadas sonoramente las cuatro transformaciones temáticas de contrapunto.

En el dibujo de arriba podemos apreciar lo que seguramente todos vemos por las mañanas desde nuestras respectivas ventanas: una apacible escena bucólica en que los dos tigres, indiferentes a la sañuda ferocidad de los unicornios beben tranquilamente, reflejándose todos ellos en las serenas aguas del lago.

Una mirada más detenida nos revelará que la imagen presenta varias simetrías. Con respecto a un eje vertical que pusiéramos en el centro, la imagen presenta lo que nuestros amigos matemáticos denominaba simetría axial vertical. Y mucho me sorprendería que no hayáis captado ya que con respecto aun eje horizontal pasa exactamente los mismo (simetría axial horizontal).

Pues bien: este juego de simetrías es un análogo sumamente exacto de las llamadas cuatro transformaciones.

Nota para espías: es perfectamente posible emplear lo que aquí vamos a ver para crear sistemas de cifrado, pero en mi opinión en este caso lejos de servir para clarificar puntos, se enturbiarían las aguas. Con pesar y con el deseo de volver a encontrarla por el camino decimos pues adiós a Mata-Hari. Hasta pronto, muñeca.

En el gráfico podemos distinguir cada una de las transformaciones.

Material original: en rigor no debería considerarse una transformación, pero el nombre tiene ya una inercia a la que es difícil renunciar. Mucho más acertado sería hablar de las cuatro formas básicas de un tema o material. Las otras tres posibilidades tienen mucho más peso, y algunas de ellas llegan a alcanzar una extraordinaria importancia.

Inversión o movimiento contrario

Sería la transformación equivalente a la simetría axial horizontal del tema que estemos tratando. O sea: como si pusiéramos un espejo debajo de ese material.

Musicalmente esto se traduce en que conservamos el intervalo (que es como los músicos denominamos a la distancia entre dos notas) pero invertimos su dirección (es decir, cambiamos los intervalos ascendentes por descendentes, y viceversa).

Aunque normalmente nada puede decirse sobre la mayor o menor eficacia de una transformación concreta, dado que depende mucho del material con el que estemos trabajando, sí es cierto que la inversión es, con diferencia, la forma de mutar el material que suele resultar más fácil de reconocer a cualquier oído. Para intentar demostrarlo os pongo aquí este audio, consistente en la inversión (con escasas modificaciones) de una música muy conocida, con el fácil desafío de que intentéis decirme cuál es. AL primero que lo ponga en los comentarios le será concedido el título de marqués morganático de Potsdam 1747.

[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2011/11/PfdercheAA.mp3|titles=Inversión]

Y sería bueno que nos detuviéramos un momento en este concepto de eficacia: que las transformaciones temáticas nos generen un conjunto de posibilidades nuevas no quiere decir en modo alguno que todas ellas sean idénticamente utilizables. Cosas tan claras como la mayor o menor adecuación de una transformación dada a nuestros propósitos, o tan intangibles como la cercanía a nuestro gusto personal van a hacernos preferir unas versiones u otras.

Podemos realizar un gráfico semejante al del artículo anterior donde se hace evidente que la técnica equivale a la aplicación de un giro (si hay transporte) y una simetría, también empleando las siete primeras notas de la Invención número 1 de Bach, de la que algo hablaremos en el artículo siguiente.

Añadamos desde este momento, en que ya disponemos de dos tipos de transformación (transporte e inversión) en que siempre es posible combinar las transformaciones. En este caso, podemos por ejemplo transportar una inversión a cualquier altura que deseemos.

Os pongo, de momento, como ejemplo un canon de la extraordinaria “Ofrenda musical”, concretamente el canon a dos por movimiento contrario. La versión pudiera ser mejor, pero la que os pongo tiene la ventaja de contar con partitura, de forma que podéis visualizar fácilmente como bajo la melodía de la flauta (denominada tema regio, ver en casi cualquier lugar de este blog) las otras dos voces van espejándose.

Nota para matemáticos recalcitrantes: aquí tenéis unas notas sobre cómo realizar esta transformación por medio de cálculos.

Retrogradación: la reina del baile

Todo buen aficionado al manga sabe que se lee al revés. En lugar de comenzarse por la izquierda para seguir hacia la derecha, hacemos exactamente lo contrario. La retrogradación equivale exactamente a la lectura manga de un tema determinado. Comenzamos leyendo desde la última nota en dirección hacia la primera.

¿Por qué la denomino la reina del baile? Aparentemente es, por lo menos para los matemáticos, la transformación temática más conocida, y existen cientos de trabajos sobre ella, alguno de tan gran interés visual como el que cerrará este apartado. Todo con todo, en un contexto musical aunque no falten ejemplos de su uso sería deseable que no faltaran el resto de las transformaciones, que son las que nos van a proporcionar en ocasiones una extraordinaria flexibilidad y potencia a la hora de realizar nuestras obras, o, si ese es el caso, a la hora de comprender cómo están realizadas muchas de ellas.


La técnica suele denominarse también “del cangrejo”, dado que estos estimables crustáceos caminan hacia atrás.

Sé que a muchos daría un disgusto si no pongo como ejemplo de esta técnica el “canon cancrizante” de la Ofrenda musical. Allá va, en una hermosa versión visual que demuestra cómo podría perfectamente interpretarse que el canon está escrito en una Banda de Moebius. Prometo en su momento haceros saber de la existencia de más materiales retrógrados, aunque me será imposible elaborar algo gráficamente tan atractivo.

Inversión retrógrada (retrogradación inversa)

Seguramente ya habréis deducido que consiste en aplicar los procedimientos de inversión y retrogradación sobre  el material con el que estemos trabajando. Sólo quiero añadir que, visualmente no es preciso considerarla como el resultado de dos procedimientos. Tal y como podéis apreciar en el gráfico, una simple simetría diagonal nos da el resultado apetecido. Asumiendo, que es mucho asumir, que lo hubiera dibujado correctamente, doblando el dibujo por la línea diagonal las imágenes se superpondrían.

Un ejemplo “químicamente puro” y a la vez fácil de esta transformación es difícil de encontrar hasta el siguiente artículo. Os dejo un vínculo a otra parte de este blog en que encontraréis algo de uso de este procedimiento en los Catorce Cánones sobre el bajo de las Goldberg.

 

 

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Preliminares

Comentábamos en el artículo anterior la necesidad de equilibrar unidad y variedad para conseguir la forma musical. Y lo ejemplificamos por medio de los cánones. Sin embargo ni es el único procedimiento ni resultaría satisfactorio para lograr obras de grandes dimensiones. Necesitamos que los propios recursos de unidad y variedad puedan aparecer en la propia línea melódica.

Muchos son los procedimientos que podemos emplear para ello. Entre los más interesantes para nuestros fines están las denominadas cuatro transformaciones temáticas del contrapunto. Que, siguiendo la honrosa tradición compartida con, por ejemplo los Tres Mosqueteros —que eran cuatro—, ni son cuatro, ni tienen por qué ser temáticas, ni se aplican necesariamente de forma contrapuntística. Eso sí, son transformaciones.

Transformaciones

¿Qué es una transformación?

Mata-Hari, la famosa espía puede sernos de ayuda en esta explicación.

Expliquemos ésto sin recurrir a música ni a matemáticas. Empleemos el espionaje, que es mucho más emocionante. Si estuviéramos en territorio enemigo y necesitáramos pasar información urgente a los de nuestro bando, es posible que tuviéramos que cifrar el mensaje de manera que no pueda ser captado a primera vista. Supongamos que escribo:

ocisúm omoc euf ol hcaB, ocifítneic omoc euf notweN euq oL. Concuerdo en que no es una criptografía muy compleja ni segura, pero me sirve para ejemplificar el punto al que quiero llegar: puedo desde esa cita recuperar fácilmente toda la información que estaba en el original: son por tanto, en cierta medida, equivalentes. He podido transformar una frase en la otra por medio de un conjunto de operaciones que ni quitan ni añaden nada al sentido original de lo que se pretendía expresar. Bueno, al primero que aquí, en los comentarios desvele la frase le recompensaré, no sé, diciendo el nombre del autor de la misma.

Hemos alcanzado un concepto intuitivo de la transformación: consistiría en distorsionar o cambiar un material original de tal modo que:

  1. No se pierda ningún fragmento de la información contenida en el material original.
  2. No se añada información ausente del original.

Es decir: debemos ser capaces de volver a casa desde una transformación cualquiera sin pérdida de contenidos o significados.


El concepto intuitivo va a resultar suficiente para nuestros propósitos, de momento.

Las cuatro transformaciones temáticas del contrapunto, que son tres, cinco, o siete, según se mire. Y la que falta, que, curiosamente, es la que más se usa.

El contrapunto es una de las más venerables técnicas compositivas occidentales, hasta el punto de que en su momento el conocimiento del contrapunto equivalía al de la composición. Quizá por ello el conocimiento de ciertos procedimientos que no hay por qué usar en forma contrapuntística, y ni siquiera se suelen usar así, se asocia a esta disciplina.

Por diversas razones la tradición quiere que hablemos de cuatro transformaciones temáticas. Iremos viendo que ese número es un tanto arbitrario.

Vamos a comenzar por un procedimiento tan simple, tan sencillo, que ni siquiera se suele considerar una transformación: el que denominamos transporte.

Transporte: para espías

Comencemos otra vez con un ejemplo de espionaje: nuestra Mata-Hari musical necesita una criptografía un poco más segura que la que antes le conferimos. Y al maestro criptógrafo de turno se le ocurre transponer una letra: cuando el mensaje original tenga una “B”, ponemos la “A”, que es la anterior. Cuando tenga una “C”, ponemos la “B”, que es la anterior, y así sucesivamente.

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y

Con este sistema, por ejemplo, la palabra “compositor” se transformaría en:

  • La C en B
  • La O en Ñ
  • La M en L
  • La P en O
  • La O en Ñ
  • La S en R
  • La I en H
  • La T en S
  • La O en Ñ
  • La R en Q

Probablemente si el enemigo intercepta el mensaje y ve la palabra “bñloñrhsñq” no piense de forma inmediata en compositores, lo que es afortunado, porque es posible que ganemos así tiempo para escapar.

Sin embargo Mata-Hari encontrará un problema si tiene que, por ejemplo, escribir su propio nombre: en la clave que le hemos proporcionado, como no hay ninguna letra anterior a la “A”, no tenemos con qué sustituirla. La solución más evidente es decretar una especie de “circularidad” del alfabeto, de forma que después de la “Z” venga otra vez la “A”, tantas veces como sea necesario. Nuestro código quedaría así como:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
Z A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y

Y “MataHari” se transcribiría como:

  • La M se transforma en L
  • La A se transforma en Z
  • La T se transforma en S
  • La A se transforma en Z
  • La H se transforma en G
  • La A se transforma en Z
  • La R se transforma en Q
  • La I se transforma en H

“Lo siento, Dave”

Con lo que nuestra espía tendría como nombre en clave lzszgzqh. Se dice que que Arthur C. Clarke, queriendo quedar un paso por delante de “IBM” utilizó para el ordenador de “2001, odisea en el espacio” el nombre “HAL”, que sería la transposición de “IBM usando este mismo código.

Es obvio que podemos establecer familias enteras de códigos de este tipo, eligiendo que cada letra equivalga a la que va dos lugares antes, tres lugares… De hecho tantos códigos como letras tenga el alfabeto menos uno.

En todo caso: lo esencial de esta familia de códigos es:

  1. Establecemos un orden predeterminado para las letras.
  2. Decidimos que al acabar este orden se vuelve a comenzar.
  3. Hacemos que cada letra equivalga a una que está un número de veces apartada de la original.

Transporte: para músicos y topólogos

Do(n) es trato de varón
Re(s), selvático animal
Mi denota posesión
Fa(r) es lejos en inglés
Sol, ardiente esfera es
La, al nombre es anterior
Si, asentimiento es
Y de nuevo viene el DO

Si no por aprendizaje en escuelas, guarderías, conservatorios o cualquier otro tipo centro, todos sabemos por la familia Trapp que la escala es circular: después de dichas todas las notas, volvemos a comenzar por el Do.

Nada impide pues que establezcamos un tratamiento musical paralelo al del código que hemos visto en los párrafos anteriores. A esta técnica la denominamos en música transporte. Y resulta extraordinariamente útil: nos da una melodía/fragmento melódico suficientemente parecido al original como para preservar el parámetro de unidad y suficientemente diferente como para aportar variedad.

Para un topólogo, este tratamiento equivaldría a un giro.


Tomemos como ejemplo las primeras notas de la invención nº 1 de Johann Sebastian Bach, que nos han de ser de utilidad en un artículo posterior: “DO-RE-MI-FA-RE-MI-DO”

Si las disponemos en forma cíclica, de forma que tras el “SI” venga de nuevo el “DO”, “DO-RE-MI-FA-RE-MI-DO” , llevado cuatro lugares más allá, se transformaría en “SOL-LA-SI-DO-LA-SI-SOL”. Podemos ver en el gráfico que la operación es equivalente a girar la línea con que hemos representado ese orden de notas.


Hasta ahora puede parecer que estoy hablando de cosas quizá interesantes, pero escasamente artísticas: criptografía, giros… ¿dónde quedan la emoción y la música? El caso es que nuestro oído debe ser un maravilloso criptógrafo y topólogo: va a sentir estas relaciones en términos de familiaridad con algo ya escuchado previamente. En definitiva, va a proporcionarnos el factor que veníamos buscando: variedad dentro de la unidad. Como ejemplo, escuchemos el audio que está aquí debajo: consiste en las siete primeras notas de la invención número 1, primero transportadas a “SOL”, tal como se indica en el gráfico de arriba, y luego sometidas a transporte a todos los grados de la escala. Probablemente la sensación que os cause es de que es CASI música, de que todo encaja bien con todo y de que lo único que falta es organizar ese material para conseguir un resultado interesante y digno. Ésa es justamente nuestra intención como compositores: crear ese tipo de material para luego organizarlo y convertirlo, si no resulta muy cursi decirlo así, en arte. Y aunque aquí esté desglosando cada paso para que resulte de la mayor claridad, el proceso llega a resultar extraordinariamente intuitivo y me atrevo a decir que instintivo.
[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2012/09/Inve1001.mp3|titles=Inven01: Transportes]

 

Aún necesitamos mayores recursos, y los iremos viendo en los próximos artículos. Entre tanto, y para abrir boca, os dejo con este canon de “El arte de la fuga” de Bach. Es el mismo procedimiento explorado en el artículo anterior, pero ahora la segunda voz (en música la llamamos consecuente) en lugar de reproducir fielmente la melodía original la transporta a la quinta (“RE” lo transforma en “LA”, y así sucesivamente).

Una obra, también de Bach, absolutamente asombrosa son las “Variaciones Goldberg”. Algo se ha hablado ya de ellas en este blog, y mucho sobre su obra asociada “Catorce cánones sobre el bajo de las Goldberg“. Para lo que ahora nos ocupa: cada tercera variación es un canon, siempre transportado a un intervalo diferente. Así, la tercera variación es un canon al unísono (el consecuente entra a la misma altura que el antecedente), la sexta variación un canon a la segunda (el consecuente está transportado una segunda), la novena variación un canon a la tercera, y así sucesivamente.

 

 

Nota para matemáticos recalcitrantes: no es imposible que echéis de menos que hubiera aludido a la aritmética modular para explicar el concepto de “circularidad” del alfabeto o de la escala. En este caso me parece que sólo hubiera complicado la explicación, pero en este mismo blog podéis leer otro artículo (antepasado de éste, en realidad) donde se alude al tema.

 

Nota para músicos recalcitrantes: no es imposible que echéis de menos que hubiera aludido a las diferencias de transporte según use como referencia la escala cromática o las posibles modulaciones. Me ha parecido por el momento innecesario. Según nuestros amigos no músicos lo vayan teniendo claro, aumentaremos el nivel de complejidad.

 

 

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