Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)

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La lección del pato Donald

Hemos estado charlando durante cinco artículos de transformaciones. Y en todos los casos hemos partido de un material inicial y luego hemos estudiado el objeto ya transformado. Hasta ahora no nos ha preocupado en absoluto el proceso de transformación.

Un gag clásico de casi cualquier serie de dibujos animados es que el protagonista —digamos que el pato Donald— caiga por una ladera nevada. Primero vemos al protagonista rodando. Poco a poco le va envolviendo una bola de nieve, de la que asoman el tronco y las patas. La bola va creciendo hasta que cada vez es mayor y es menos la parte de Donald que asoma. Va saliendo sólo la cabeza, luego el pico… hasta que por fin sólo vemos una esfera sin ningún pato dentro.

La figura “PatoDonald” se ha transformado en la figura “esferaDeNieve”. Si directamente detrás del pato pusiéramos la esfera, nadie entendería la relación entre las dos imágenes. En este caso lo que realmente le da la gracia al gag no es la transformación, sino el proceso por el que una figura se convierte en la otra.

Dejo caer que a este proceso de ir acumulando cosas sobre un núcleo central que va así mutando poco a poco podemos llamarlo “acrección” o ”cristalización” y que puede ser de gran interés para la construcción de formas musicales. Quizá en su momento le dedique otra serie.

Pero estamos dirigiendo estos artículos para músicos con curiosidad por la topología, topólogos con curiosidad por la música y gente curiosa en general.

¿Un café?

Comentábamos en el primer artículo que hay quien denomina a la topología “la ciencia de transformar una taza de café en un donut”. Observando la animación que nos acompaña, podemos ver como poco a poco la taza se deforma hasta convertirse en un donut y viceversa: estamos estudiando el proceso de transformación, que nos interesa tanto, o quizá más que el material inicial y el resultado final.

No hace tantísimos años que estaban de moda los morphings, y quién más, quién menos, había hecho alguno con su propio retrato. Una vez más estamos hablando de cómo nos interesa tanto o más el proceso que los extremos del mismo.


Observemos, por último este gráfico larguísimo que nos acompaña (quizá sea mejor que hagáis click en él para verlo a un tamaño razonable). Podemos observar que el hexágono inicial va poco a poco deformándose para irse transformando en una figura que nadie hubiera podido sospechar. Pero siguiendo el proceso cada paso va siendo razonable, evidente y hasta intuitivo.

¿No sería posible encontrar músicas que siguieran este proceso? ¿Músicas en las que más que transformar elementos lo que hiciéramos fuera disfrutar de la observación del proceso por el que se transforman?

Hay razones para suponer que una inmensa mayoría de las formas musicales se comportan así, pero de forma demasiado compleja para tratarlas en estas líneas, que pretendo bastante intuitivas. Cito, para quien quiera profundizar estos estudios que no es imposible relacionar las técnicas de Schenker con los conceptos de recursividad y fractales y sigo con lo que es propiamente la materia de esta serie, con ejemplos mucho mas fáciles de entender.

En efecto, hubo una corriente musical llamada “process music”, antecesora quizá del minimalismo, en la que lo que se hacía era poner en marcha una serie de parámetros musicales y dejar que evolucionaran por sí mismos. Nombres como Philip Glass, Michael Nyman o Bryan Eno formaron parte del movimiento. Pero prefiero poner como ejemplo una música mucho más conocida, aprovechando la inluencia que el rock tuvo sobre ese movimiento y ese movimiento sobre el rock: Tubular Bells,  de Mike Oldfield.

En efecto, el fragmento que os propongo de esa obra presenta una estructura en todo semejante a la de bola de nieve de Donald de la que hablábamos al principio. Observamos una estructura básica que se repite (y a la que ya sabemos llamar ostinato) sobre la que van apareciendo materiales nuevos, que se superponen unos sobre otros (la bola de nieve va creciendo). Estos materiales, en paridad, no son muy distintos entre sí, sino que van añadiendo sobre todo densidad y timbre. Pero esto lo convierte en un ejemplo muy apto para que el oído entienda con facilidad el concepto.

Quizá muchos de vosotros hubiérais preferido la versión original del tema y un maestro de ceremonias diferente. Sin embargo en esta ocasión tenía interés en todo estuviera en castellano, para que fuera más sencillo de entender.

Os presento otro ejemplo muy similar del gran maestro Ravi Shankar, en colaboración con Philip Glass, pretendiendo todavía emplear música bastante conocida. Aunque la estructura es ligeramente más compleja, no merece ahora la pena entrar al detalle,

Ligeti y Escher

No faltará quien esté extrañado de que aún no haya aludido al que sin duda es el más famoso autor de ejemplos visuales para el tema que nos ocupa: Escher, el gran maestro de la transformación.

Poco que puedo decir de él que no se haya dicho antes y mejor, sobre todo si no quiero entrar en ciertas complejidades musicales, así que me conformaré simplemente con hacer notar que muchos comportamientos musicales del gran Ligeti son modelables según sus imágenes, o viceversa. Como ejemplo os añado una página de su obra emblemática “Continuum”, con la imagen tan empequeñecida como para que os fijéis más en el trazo que en las notas. A partir del segundo sistema, si os fijáis en los espacios en blanco va formándose una especie de árbol de Navidad horizontal que poco a poco se va alargando. Un proceso similar ocurre en la sustancia musical: núcleos de pocas notas a las que poco a poco se suman otras, luego algunas se restan, hasta que encontramos un núcleo completamente diferente desde el que vuelve a comenzar el proceso.

Os añado la simpática transcripción para organillo de feria.

Músicas como ésta resultan a veces al público “raras”, en la medida en que no estamos escuchando una melodía o un ritmo al uso. A otros resultarán sin duda fascinantes, en razón precisamente de su novedad. Para satisfacer a ambos tipos de persona voy a acabar con este excepcional estudio, también de Ligeti. Su construcción es semejante, si bien para una comprensión completa sería de gran interés añadir algunos comentarios biológicos.

En el tintero

En una serie tan larga como ésta siempre se queda uno con ganas de haber explicado más cosas o haber metido más obras, haber desglosado algunas ideas en todavía más pasos… No lo he hecho porque la intención de esta serie es sobre todo divulgar y entretener. Me hace mucha falta dada mi profesión de profesor hacer cuanto me sea posible por no caer en dar lecciones con los artículos. Con todo me vais a permitir que cite algunas obras que tuve en mente para colocar aquí.

  1. El canon “de la raíz cuadrada”, de Nancarrow, como ejemplo de aumentaciones y disminuciones.
  2. “L’échange”, de Messiaen, como ejemplo de lo tratado en este mismo artículo
  3. Los catorce cánones sobre el bajo de las Goldberg, como demostración de todo lo tratado hasta el cuarto artículo
  4. La Passacaglia en do menor de Bach, por las mismas razones.

Bastantes se me quedan aún en el tintero: ya habrá ocasión.

Aprovecho para dedicar esta serie a Vailima de Samoa, Tio Petros, y Palimp, por un lado, pues fueron quienes tiempo atrás me convencieron con su amabilidad y comentarios de escribir sobre estos temas. Y por otro lado a Marta Macho Stadler, que me ha convencido de hacerlo ahora. Si algo os divierte, parte de la responsabilidad es suya. De lo que no os guste me he encargado yo solo.

 

 

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Visualizar la música, oír las matemáticas (1)
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Visualizar la música, oír las matemáticas (3)
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Visualizar la música, oír las matemáticas (5)
Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)

Visualizar la música, oír las matemáticas (5)

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Otras transformaciones

En este artículo y el siguiente vamos a navegar mares mucho más inexplorados. Algunas de las ideas que veremos aquí han sido usadas con mayor o menor amplitud a lo largo de la historia. Otras son recientísimas. Algunas son discutibles y discutidas, otras son incontrovertibles. Posiblemente algunas de las que visualmente son más evidentes no han tenido una mayor repercusión histórica porque en general la música sólo se ha comparado al lenguaje hablado, y a éste, por así decirlo, es difícil atribuirle más dimensiones que la simplemente temporal.

De donde salen las ideas

No deja de ser posible que a alguno de vosotros se le haya ocurrido, viendo en el artículo anterior las analogías visuales de aumentación y disminución, que algo falta. Los dibujos que allí se mostraban distorsionaban la dimensión horizontal, manteniendo estable la vertical. ¿No podríamos intentar lo contrario, mantener estable la dimensión horizontal —que vendría a equivaler al tiempo— y distorsionar la vertical —que vendría a equivaler al tamaño de los intervalos—? Dentro de un momento comentaré usos que se han hecho de esta posibilidad, pero aunque así no fuera, desde este momento digo que este tipo de pensamientos sobre una analogía son una fuente legítima de ideas. Algunas veces estas ideas son prodigiosamente útiles. Otras son intentos fallidos. En cualquiera de los casos tener una idea musical desde una analogía, visual o de otro tipo, no es garantía de su buen funcionamiento —eso debe juzgarse musicalmente— ni es motivó para su rechazo. Todo estímulo que ponga en marcha la imaginación del compositor es siempre bienvenido.

Unidades de medida

Convendrá en primer lugar, si queremos pensar en distorsiones de la dimensión interválica de un determinado material, saber qué estamos midiendo, y de acuerdo a que criterios. En música llamamos intervalo a la distancia entre dos notas, y solemos medirlo de acuerdo a una determinada escala (por ejemplo, en intervalo entre Do y Mi, medido en la escala de Do mayor es una tercera, porque contando las notas desde DO, DO—RE—MI, esta última es la tercera nota).

El problema es que las escalas empleadas durante el periodo tonal son de construcción irregular, es decir, que la distancia real de una segunda, una tercera o cualquier otro intervalo no es siempre la misma. Por ello, para los casos en que necesitemos una medida absolutamente precisa podemos usar otros tipos de unidad. Nosotros emplearemos la que, probablemente, sea la más sencilla de entender para no músicos: el número de semitonos que separan las notas que deseamos estudiar.

El gráfico con los circulitos que aquí podemos ver representa las escalas llamadas mayor y menor natural. Y donde quizá para un músico no sea absolutamente claro, para un topólogo debe probablemente ser una alegría: cualquiera de los gráficos puede deformarse hasta convertirse en el otro: son por tanto homeomorfos.

Hemos comentado en capítulos anteriores que parece ser que el oído es enormemente capaz de detectar los homeomorfismos sonoros, en terminos de relación, parentesco, unidad… Por lo tanto el cambio del tamaño interválico, la distorsión del parámetro vertical aludida al principio del capítulo, son potencialmente material útil para la construcción de músicas.

El asunto puede llegar a ser bastante más complejo de lo necesario si además tenemos en cuenta que, si salimos de las perspectivas puramente tonales, algunas escalas tienen más o menos de siete sonidos, y la distancia entre estos es variable. Eso sólo podría dar lugar a:

  1.  Que si el oído es incapaz de detectar tales relaciones nos encontremos con un goloso argumento teórico que no tendría ninguna utilidad.
  2.  Que acabemos de encontrar otra forma de conseguir unidad y variedad (forma musical) mediante una transformación nueva.

“Soluitur ambulando”: el movimiento se demuestra andando. Voy a tomar una melodía muy conocida y someterla a varias deformaciones interválicas: si logramos sentir en todas ellas una cierta relación, es que el sistema puede funcionar. Escuchémoslo.
[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2012/09/DoDoSolSol.mp3|titles=Variantes interválicas]

Funciona, ¿verdad? Podemos pues dar por válidas las

Disminuciones y aumentaciones interválicas


Con todo el exordio anterior pienso que han quedado definidas: se trataría de someter los intervalos a un aumento o disminución de su tamaño. No conozco ninguna pieza en que esto se haga de manera regular como para ponerla aquí de ejemplo, pero es evidente que el mismo concepto de modulación depende de ello, así como que existen multitud de ejemplos fragmentarios en todo tipo de obras: pienso ahora mismo en la genial transformación que el tema de la fuga de “Música para cuerda percusión y celesta” de Bartók sufre en el cuarto movimiento.

En capítulos anteriores he propuesto pequeños enigmas: el de este artículo va  a ser proponer que, usando esta técnica, transforméis a BACH en CAFE.

Los topólogos son gente contínua

Las transformaciones que hemos visto hasta ahora son, digámoslo así, estáticas. Quiero decir que el material sobre el que trabajamos lo sometemos a transformación y empleamos la versión transformada. Pero existen otros tipos de obra en que la forma musical se consigue mediante la lenta deformación del material, consiguiendo versiones en cada una es muy similar a la inmediatamente anterior y la inmediatamente siguiente, pero la diferencia entre el material original y la versión final puede ser enorme. Constituirán la materia del siguiente y último capítulo.

 

 

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Visualizar la música, oír las matemáticas (1)
Visualizar la música, oír las matemáticas (2)
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Visualizar la música, oír las matemáticas (5)
Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)

Visualizar la música, oír las matemáticas (4)

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Preliminares

En este artículo vamos a explorar dos transformaciones más, también clásicas, y gracias a ellas más las ya vistas estudiaremos otras formas de construir obras.

Aumentación y disminución

Si bien estas técnicas son de enorme antigüedad, ciertamente no menor a la de las ya estudiadas, no se suelen considerar dentro de las transformaciones temáticas “oficiales”. Probablemente porque el tipo de cambio que efectúan sobre el material dado implica cierta distorsión.

La aumentación consiste en prolongar las duraciones del material original, haciendo así que resulte más largo. La técnica clásica de aumentación multiplica los valores por dos (aumentación simple) o por cuatro (aumentación doble). Estilos previos a la tonalidad, y ciertamente los posteriores son mucho más ricos en las posibilidades de multiplicación, llegándose a números fraccionales (Messiaen) y hasta a la raíz cuadrada de dos (Nancarrow).

Arriba podemos ver una analogía gráfica de la aumentación, en la parte inferior de la ilustración. Como se ve, implica cierta distorsión, muy en la línea de Botero. Quizá esta distorsión es la que ha hecho que la técnica no se considere tradicionalmente integrada con las transformaciones clásicas.

 

Como ejemplo veamos en primer lugar el canon por aumentación y moviemiento contrario del Arte de la Fuga de Bach. Observad que ya se juntan tres transformaciones diferentes: transporte (el canon se efectúa a la cuarta inferior), inversión y aumentación.

Esta acumulación de transformaciones hace que a veces haya quien piense que tanta técnica no puede ser buena y ha de ir en detrimento de las especiales cualidades sensibles del compositor. Aparte de repetir, como suelo, que menos mal que no se aplican tales criterios a los arquitectos, suelo añadir el canon por aumentación y movimiento contrario de la Ofrenda Musical, que puede muy bien ser una de las piezas más conmovedoras que conozco.


La disminución sería exactamente la técnica inversa: acortamos las duraciones de las notas. Una vez más la técnica tradicional emplea potencias de dos, dando a las notas la mitad de su valor (disinución simple) o la cuarta parte (disminución doble). Y una vez más, estilos anteriores y posteriores al periodo tonal resultan mucho más ricos en el tipo de transformaciones temporales que permiten.

Si antes nuestro ejemplo pictórico fue Botero, para la disminución bien podría ser Giacometti.

Vamos a ejemplificar todo esto mediante el canon VII de “El arte de la Fuga“, que emplea las dos técnicas. Hay que comentar que estos tipos de canon aportan una dificultad especial: el canon por aumentación va alejando cada vez más el antecedente del consecuente, con el potencial riesgo de no acabar nunca. El canon por disminución en cambio los acerca cada vez más, con lo que el final puede producirse de maner abrupta.

Forma musical, de nuevo

Hasta ahora todos los ejemplo que hemos puesto han sido de cánones, para una mayor facilidad. Sin embargo están lejos de ser la única manera de crear forma musical, o incluso la más usada.

Mucho más frecuente durante el periodo tonal es el llamado comportamiento motívico-temático,  que viene a consistir en que usamos fragmentos musicales, a modo de piezas de puzzle para construir nuestras líneas melódicas. Estos fragmentos se tratan habitualmente por medio de transportes, inversiones, retrogradaciones, inversiones retrógradas, aumentaciones y disminuciones (¿os suenan?).

Con las técnicas hasta ahora tratadas estamos en condiciones de analizar melódicamente obras incluso muy complejas, cualquier fuga, la Passacaglia en do menor de Bach…

 

Observad, por ejemplo, esta partitura, ya un clásico de Potsdam 1747. Se trata de la invención número 1 de Bach.

  • Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor—.
  • Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
  • Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —aumentación—.
  • Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
  • Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
  • Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

La podemos escuchar aquí, interpretada por el muy añorado Gustav Leonhardt.

Hasta ahora hemos visto pues como unos procedimientos que son modelables según la topología se encuentrarn en la mismísima raíz de la música occidental. Los ejemplos podrían ser innumerables. Vamos a dedicar los siguientes artículos a procedimientos menos comunes, o menos estudiados.

 

 

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Visualizar la música, oír las matemáticas (y 6)

Visualizar la música, oír las matemáticas (3)

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Preliminares

En el artículo anterior comentábamos el concepto de transformación temática en música, y dejábamos entrever que iba a servir no sólo para construir cánones (única forma musical que hemos tratado, por levemente que sea, hasta ahora) sino para la propia construcción de líneas melódicas. En este artículo exploraremos con detenimiento muchas de estas opciones.

Las cuatro transformaciones: un juego con espejos que se deslizan

Tomo prestado el título a Borges para algo en lo que el maestro argentino seguramente no pensó: las llamadas sonoramente las cuatro transformaciones temáticas de contrapunto.

En el dibujo de arriba podemos apreciar lo que seguramente todos vemos por las mañanas desde nuestras respectivas ventanas: una apacible escena bucólica en que los dos tigres, indiferentes a la sañuda ferocidad de los unicornios beben tranquilamente, reflejándose todos ellos en las serenas aguas del lago.

Una mirada más detenida nos revelará que la imagen presenta varias simetrías. Con respecto a un eje vertical que pusiéramos en el centro, la imagen presenta lo que nuestros amigos matemáticos denominaba simetría axial vertical. Y mucho me sorprendería que no hayáis captado ya que con respecto aun eje horizontal pasa exactamente los mismo (simetría axial horizontal).

Pues bien: este juego de simetrías es un análogo sumamente exacto de las llamadas cuatro transformaciones.

Nota para espías: es perfectamente posible emplear lo que aquí vamos a ver para crear sistemas de cifrado, pero en mi opinión en este caso lejos de servir para clarificar puntos, se enturbiarían las aguas. Con pesar y con el deseo de volver a encontrarla por el camino decimos pues adiós a Mata-Hari. Hasta pronto, muñeca.

En el gráfico podemos distinguir cada una de las transformaciones.

Material original: en rigor no debería considerarse una transformación, pero el nombre tiene ya una inercia a la que es difícil renunciar. Mucho más acertado sería hablar de las cuatro formas básicas de un tema o material. Las otras tres posibilidades tienen mucho más peso, y algunas de ellas llegan a alcanzar una extraordinaria importancia.

Inversión o movimiento contrario

Sería la transformación equivalente a la simetría axial horizontal del tema que estemos tratando. O sea: como si pusiéramos un espejo debajo de ese material.

Musicalmente esto se traduce en que conservamos el intervalo (que es como los músicos denominamos a la distancia entre dos notas) pero invertimos su dirección (es decir, cambiamos los intervalos ascendentes por descendentes, y viceversa).

Aunque normalmente nada puede decirse sobre la mayor o menor eficacia de una transformación concreta, dado que depende mucho del material con el que estemos trabajando, sí es cierto que la inversión es, con diferencia, la forma de mutar el material que suele resultar más fácil de reconocer a cualquier oído. Para intentar demostrarlo os pongo aquí este audio, consistente en la inversión (con escasas modificaciones) de una música muy conocida, con el fácil desafío de que intentéis decirme cuál es. AL primero que lo ponga en los comentarios le será concedido el título de marqués morganático de Potsdam 1747.

[audio:http://enriqueblanco.net/wp-content/uploads/2011/11/PfdercheAA.mp3|titles=Inversión]

Y sería bueno que nos detuviéramos un momento en este concepto de eficacia: que las transformaciones temáticas nos generen un conjunto de posibilidades nuevas no quiere decir en modo alguno que todas ellas sean idénticamente utilizables. Cosas tan claras como la mayor o menor adecuación de una transformación dada a nuestros propósitos, o tan intangibles como la cercanía a nuestro gusto personal van a hacernos preferir unas versiones u otras.

Podemos realizar un gráfico semejante al del artículo anterior donde se hace evidente que la técnica equivale a la aplicación de un giro (si hay transporte) y una simetría, también empleando las siete primeras notas de la Invención número 1 de Bach, de la que algo hablaremos en el artículo siguiente.

Añadamos desde este momento, en que ya disponemos de dos tipos de transformación (transporte e inversión) en que siempre es posible combinar las transformaciones. En este caso, podemos por ejemplo transportar una inversión a cualquier altura que deseemos.

Os pongo, de momento, como ejemplo un canon de la extraordinaria “Ofrenda musical”, concretamente el canon a dos por movimiento contrario. La versión pudiera ser mejor, pero la que os pongo tiene la ventaja de contar con partitura, de forma que podéis visualizar fácilmente como bajo la melodía de la flauta (denominada tema regio, ver en casi cualquier lugar de este blog) las otras dos voces van espejándose.

Nota para matemáticos recalcitrantes: aquí tenéis unas notas sobre cómo realizar esta transformación por medio de cálculos.

Retrogradación: la reina del baile

Todo buen aficionado al manga sabe que se lee al revés. En lugar de comenzarse por la izquierda para seguir hacia la derecha, hacemos exactamente lo contrario. La retrogradación equivale exactamente a la lectura manga de un tema determinado. Comenzamos leyendo desde la última nota en dirección hacia la primera.

¿Por qué la denomino la reina del baile? Aparentemente es, por lo menos para los matemáticos, la transformación temática más conocida, y existen cientos de trabajos sobre ella, alguno de tan gran interés visual como el que cerrará este apartado. Todo con todo, en un contexto musical aunque no falten ejemplos de su uso sería deseable que no faltaran el resto de las transformaciones, que son las que nos van a proporcionar en ocasiones una extraordinaria flexibilidad y potencia a la hora de realizar nuestras obras, o, si ese es el caso, a la hora de comprender cómo están realizadas muchas de ellas.


La técnica suele denominarse también “del cangrejo”, dado que estos estimables crustáceos caminan hacia atrás.

Sé que a muchos daría un disgusto si no pongo como ejemplo de esta técnica el “canon cancrizante” de la Ofrenda musical. Allá va, en una hermosa versión visual que demuestra cómo podría perfectamente interpretarse que el canon está escrito en una Banda de Moebius. Prometo en su momento haceros saber de la existencia de más materiales retrógrados, aunque me será imposible elaborar algo gráficamente tan atractivo.

Inversión retrógrada (retrogradación inversa)

Seguramente ya habréis deducido que consiste en aplicar los procedimientos de inversión y retrogradación sobre  el material con el que estemos trabajando. Sólo quiero añadir que, visualmente no es preciso considerarla como el resultado de dos procedimientos. Tal y como podéis apreciar en el gráfico, una simple simetría diagonal nos da el resultado apetecido. Asumiendo, que es mucho asumir, que lo hubiera dibujado correctamente, doblando el dibujo por la línea diagonal las imágenes se superpondrían.

Un ejemplo “químicamente puro” y a la vez fácil de esta transformación es difícil de encontrar hasta el siguiente artículo. Os dejo un vínculo a otra parte de este blog en que encontraréis algo de uso de este procedimiento en los Catorce Cánones sobre el bajo de las Goldberg.

 

 

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