Nov 01 2004

Proporción (y 2)

Breves resúmenes sobre proporción, sección áurea y números de Fibonacci.


En el artículo anterior definíamos proporción, y especulábamos sobre los mejores puntos en que situar las articulaciones formales de la obra.

Sitios en que la articulación es frecuente

El estudio de ejemplos musicales, revela que los ejemplos breves tienden a tener su articulación en la mitad de la obra. Así ocurre en este ejemplo de Mozart, que ya vimos con anterioridad.
331a1.jpg
Cuanto más extensas sean las obras, o fragmentos formales, más corriente se hace que estos puntos relevantes tiendan a situarse alrededor del 60 ó 65% de la duración de la obra. Es evidente que una vez que se alcanzan los momentos de máximo interés, extenderse demasiado más tiempo resultaría monótono. Observemos este ejemplo, también ya analizado, de Bach.
inventio1.jpg
En él podemos observar que el punto de máxima tensión ocurre en la caída en el compás 15, lo que representa el 63,6% de la duración de la obra. Es también comentable que entre la articulación menor que se da en la caída del compás 7 y la del 15 ocurre el 57,1% de la extensión hasta ese momento. (Consejo: quién lo necesite que relea el artículo sobre recursividad, en próximos artículos va a ir siendo progresivamente más necesario).

La sección áurea

Existe un concepto sobre la proporción llamado sección áurea. Viene a darse cuando la proporción entre una parte y el todo es idéntica a la relación entre el resto y la parte. Como definición, puede mejorarse, y aquí tenéis una lista de sitios donde lo hacen:

  1. En forma más bien geométrica. Hay referencias a Fibonacci y al arte.
  2. De forma mas aritmética. También hay referencias a Fibonacci, y algún gráfico muy útil.
  3. Del rincón del vago (sí, queridos alumnos, los profesores sabemos de la existencia del rincón del vago, ojito con copiarlo ^—^).
  4. Imágenes interesantes.
  5. Estudios gráficos sobre su relación con la pintura.

Quizá hayáis observado que en algunas de las páginas dan el valor de la sección áurea como 0, 618… y en otras como 1,618…. Son recíprocos (o sea, 1 partido por 0.618 da 1,618 y viceversa). Es decir, el primero expresa la proporción entre el todo y la parte y el segundo entre la parte y el todo. Para nuestros propósitos va a ser, en general, más conveniente considerar que la duración de una obra equivale a uno, así que emplearemos 0,618 como valor de la sección áurea.
Efectivamente, la proporción áurea se da con cierta frecuencia en música, al menos en el sentido de que los puntos de articulación de muchas obras tienden a aproximarse a ella. De la misma forma que los puntos importantes de los diverso niveles mesoformales. Es importante darse cuenta de que en la mayor parte de la historia, condicionantes tales como el compás hacen imposible que la proporción áurea se produzca con exactitud. Aproximaciones como las que hemos visto en la obra de Bach, o más precisas, son corrientes (en los casos en que se produce, cuanto más larga sea la obra, tanto mayor puede ser la precisión). Algún caso veremos, si ustedes quieren.

Mis opiniones sobre la sección áurea en música

  1. Las aproximaciones a la sección áurea en música se dan con suficiente frecuencia como para poder descartar que sea un fenómeno casual. Eso no presupone en ningún caso que el autor deba haber tenido conocimiento de la existencia de ese fenómeno. Si de alguna forma esa es una relación especialmente agradable al ser humano, se debe poder llegar a ella mediante procedimientos intuitivos o prácticos (o místicos, para quién siga creyendo que las musas llaman al móvil del compositor), que serán tan válidos y no más ni menos, como un procedimiento especulativo.
  2. Hay que destacar que, en mi experiencia, la sección áurea aparece con mucha mayor probabilidad en las músicas que tienen un carácter narrativo, tal y como se define el término aquí, en el apartado Lo narrativo como estructura dramática y que busquen el tiempo dialéctico. Muchas otras músicas existen de espléndido funcionamiento donde no se detecta esta proporción, de forma que no debe considerarse una ley universal. También hay que considerar que la proporción puede aparecer en niveles mesoformales y no macroformales, o al contrario. Esto va a resultar tanto más cierto en obras de gran longitud, como óperas, donde la retentiva humana sería incapaz de distinguir esa proporción.
  3. Especular sobre posibles repercusiones sobrenaturales de todo ello no añade nada a nuestro conocimiento de la obra. Incluso es cuestionable la especulación sobre que responda a un sentido de la proporción natural de los cuerpos humanos, en la medida en que el oído es un sentido distinto de la vista.
  4. Destaco que uso siempre la expresión aproximación a la proporción áurea. Buscar la precisión absoluta conduce en demasiadas ocasiones a tener que falsear resultados, cosa que me parece inaceptable.
  5. El conjunto de todo lo anterior me lleva a conjeturar que, en una posible teoría musical futura haya un subgrupo de tipos formales que, por alguna razón, tiendan a provocar la aparición de esta relación. Alguna especulación al respecto haré hablando de Bartók.

Los números de Fibonacci y la sección áurea

En este artículo presenté informalmente la serie de Fibonacci —dicho sea de paso, de otra fuente me llega que los animales implicados no eran gallinas sino conejos, pero en mis libros de referencia (que tampoco son muy fiables) siguen siendo gallinas, así que, sin acceso al texto original, no me veo en la necesidad de cambiar lo que escribí—En los artículos que vinculé más arriba podéis haber encontrado informaciones más formales sobre ella.
Bueno será en todo caso recordar que es una serie de números en que cada uno es la suma de los dos anteriores. Sus dos primeros miembros (al menos los dos primeros miembros relevantes para su uso en música) son 1 y 2, de forma que la serie sería:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
Serie, por cierto, tan útil que a muchos nos sirvió para una aproximación rápida a la conversión entre pesetas y euros.
Esta serie presenta una propiedad que la emparenta con la proporción áurea. Si dividimos cada miembro de la misma por el siguiente, vamos encontrando cifras que cada vez se acercan más a ella.

  • 1/2= 0,5. Un error de 0, 118.
  • 2/3=0,666, un error de 0, 048
  • 3/5=0,6. Un error de 0, 018
  • 5/8=0,625. Un error de 0,007
  • 8/13=0,613. Un error de 0,004.
  • 13/21=0,619. Un error de 0.001.
  • 21/34=0,618 (redondeado, como todas las cifras que se están empleando). Sin error apreciable a menos que se usen más decimales.

El caso es que es bastante más cómodo contar que dividir, lo que hace que el uso de la serie de Fibonacci en música sea bastante práctico. Además refleja la propiedad de la que hablé antes de que para duraciones breves se aproxima a la mitad y para largas a la sección áurea.
Esta propiedad, dicho sea de paso, de aproximarse a la sección áurea la comparten todas las series cuya ley de formación sea que cada número es resultado de la suma de los dos anteriores, como por ejemplo la serie de Lukas:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…
Dentro de muy pocos artículos veremos usos musicales de la serie de Fibonacci.
Y, si mis previsiones no fallan, nos hace falta tan sólo un artículo más sobre simetría antes de poder afrontar Bartók.

Enlace permanente a este artículo: http://enriqueblanco.net/2004/11/proporcion-y-2/

16 comentarios

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    • Palimp on 1 noviembre, 2004 at 12:20
    • Responder

    Muy interesante, y muy divertida la primera parte. A mi me encantan las series matemáticas y me gusta ver su relación con la música.

  1. Gracias. Me alegro de que te interese y de que te divierta. Espero que por aquí sigas encontrando de lo mismo. ¿Qué tal la actuación?

    • Palimp on 2 noviembre, 2004 at 9:11
    • Responder

    Todo un éxito, aunque yo me encontré un poco envarado, por ciertos miedos que me venían rondando. Pero todo salió bien. Por cierto ¿Qué hay de ese sistema de los dados??

    • Gerardo on 25 noviembre, 2004 at 23:48
    • Responder

    Soy médico, estoy en 4º flauta travesera, y el descubrimiento hace tiempo del Fibonacci y una cosa y otra, me ha hecho llegar a esta pag. y creo que me quedaré una temporada.Por donde empiezo? me interesa mucho Fibonacci y musica y cualquier otra forma interesante, como añadir al dúo ant los fractales. Alguien me puede aconsejar?
    Gracias.

  2. Bienvenido, Gerardo.
    Empieza por donde gustes. En todo caso, en la serie que mantengo en curso ahora mismo sobre Bartók, aparecerá Fibonacci.
    Por este blog andan matemáticos, que se enfadan si llamamos fractales a cosas que no impliquen el infinito. En su lugar, aquí hablaremos de recursividad, de la que ya hay un artículo, y que seguirá apareciendo.

  3. Me encantó la página, pero me gustaría saber más sobre mozart y como se ve afectada su música con la proporción aurea.
    Gracias

    • patricia on 26 febrero, 2005 at 23:04
    • Responder

    ¡ estaba esperando a los fractales ¡ Me imaginaba que terminarian apareciendo por aqui. Yo no tengo mucha idea de ellos pero la estructura fractal me enloquece. Una pregunta: los fractales son estructuras recursivas autosemejantes ¿en que medida implican al infinito? ¿es porque tienden a el?. No se si me explico bien pero no se hacerlo mejor. Por cierto, la estructura fractal ha sido utilizada en música contemporanea por un compositor español, Francisco Guerrero, muerto hace no mucho. ¿habeis escuchado su música? es potente. Os aconsejo la obra orquestal Sahara y en música de cámara la serie Zayin

    • patricia on 26 febrero, 2005 at 23:04
    • Responder

    ¡ estaba esperando a los fractales ¡ Me imaginaba que terminarian apareciendo por aqui. Yo no tengo mucha idea de ellos pero la estructura fractal me enloquece. Una pregunta: los fractales son estructuras recursivas autosemejantes ¿en que medida implican al infinito? ¿es porque tienden a el?. No se si me explico bien pero no se hacerlo mejor. Por cierto, la estructura fractal ha sido utilizada en música contemporanea por un compositor español, Francisco Guerrero, muerto hace no mucho. ¿habeis escuchado su música? es potente. Os aconsejo la obra orquestal Sahara y en música de cámara la serie Zayin

    • zapple on 23 junio, 2005 at 11:39
    • Responder

    Interesantísimo!
    “..Dentro de muy pocos artículos veremos usos musicales de la serie de Fibonacci…..”
    Cuandp sera eso?
    Estoy impaciente

    • Maria on 10 diciembre, 2005 at 14:13
    • Responder

    Hola!!Soy estudiante de flauta y ma gustaria investigar como sonaria una flauta con los agujeros siguiendo la serie de Fibonacci, pero estoy un poco indecisa, no se como enfocarlo

    • Mariana on 29 enero, 2006 at 15:40
    • Responder

    Muy interesante informacion, ahi tienen mi mail, por favor si quieren mandarme informacion con respecto al numero aureo y la musica les estare agradecida.saludos

  4. Que hay de la proporcion aurea en la musica popular ?
    Saludos

    • ana cristina londoño on 2 octubre, 2008 at 18:59
    • Responder

    al iguel que uno de los comentarios anteriores me gutaria tener un poco de conocimiento en la musica de mozart y cual es el por que hace tanto efecto positivo
    gracias

    • montse on 31 marzo, 2010 at 11:17
    • Responder

    Estic fent una composicio en la que m’agradaria acabar els ultims 8 compassos amb música que respongui a la proporcio aurea. M’ha agradat aquesta conversa, pero veig que fa molt temps que esta feta. On puc trobar partitures de mozzart, bach o altres per analitzar i veure com ho puc introduir.

  5. Hola Montse, bienvenida. Entiendo mal el catalán, pero me parece que dices que querías subir algo a este blog. Cualquiera de vosotros es libre de mandarme por mail (está arriba, donde pone escríbeme) lo que quiera, y si la calidad me parce buena, lo publicaré, naturalmente con vuestro nombre

  6. Hola, muy buena informacion.
    He logrado entender la relacion del numero aureo y el tiempo en una obra, pero todavia me interesa saber como aplicarlo a la melodia y armonia, como esta su relacion con las notas?
    Gracias de antemano.
    Saludos.

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