Sep 18 2004

Música y matemáticas (2d)

Cómo se han aplicado en el siglo XX algunas de las técnicas recientemente vistas.


Comencemos con un breve resumen de lo visto en capítulos anteriores.
En el primer capítulo estudiábamos la necesidad de que la obra sea unitaria. Veíamos también que una de las formas en que eso se podía lograr era por medio de la repetición de material temático, sometido a transportes. Notábamos también que el proceso era semejante a ciertas manipulaciones topológicas y numéricas.
En el siguiente artículo, estudiábamos las llamadas técnicas de transformación temática del contrapunto, viendo que existía igualmente la posibilidad de encontrar semejanzas con la topología y la aritmética modular.
En el penúltimo capítulo veíamos ejemplos de todo ello dentro de una obra de Bach.
Comencemos por aclarar que en época de Bach esas técnicas eran ya muy antiguas, y que podemos encontrar tantos ejemplos como sea preciso de su utilización. De la misma forma, los ejemplos dentro de la obra de Bach se extienden a la práctica totalidad de su obra. Y ejemplos posteriores son también enormemente abundantes.
Es por ello que cuando la Segunda Escuela de Viena necesita encontrar una forma de utilizar su concepto de serie, recurre a estos medios para manipularla. En otra parte de esta web podéis encontrar un artículo extenso sobre cómo esta escuela no pretende una ruptura con la tradición sino todo lo contrario.
Podríamos definir brevemente la serie como una determinada ordenación de un conjunto de notas, estableciendo que la octava en que se encuentre cada nota es irrelevante (esta última condición es el equivalente de la teoría de las Pitch classes, de tanta vigencia en Norteamérica. En el caso concreto de la Segunda Escuela de Viena, hay que añadir la condición de que se empleen todas las notas de la escala cromática una sola vez. Otras condiciones son irrelevantes para los propósitos de este artículo.
Tras la segunda guerra mundial, por razones que no vienen ahora al caso, se desarrolla el concepto de serialismo integral, que viene a consistir en que se aplica el concepto de serie a parámetros diferentes de la altura, como pueden ser duraciones, ritmos, ataques, dinámicas, timbres…
Esta aplicación del concepto de serie resulta contraintuitiva para muchos músicos, que no aciertan a veces a comprender cómo las técnicas de transformación del contrapunto pueden aplicarse a estos elementos.
La base para comprenderlo, es aplicar el concepto de modularidad a estos parámetros. Para poner un ejemplo, vamos a jugar con combinaciones de timbres.

  • Combinación 0: Violín, viola, flauta.
  • Combinación 1: Arpa, viola, flauta.
  • Combinación 2: Arpa, viola, vibráfono.
  • Combinación 3: Arpa, marimba, vibráfono.
  • Combinación 4: Violín, marimba, vibráfono.
  • Combinación 5: Violín, marimba, flauta.

Es fácil ver que comenzamos en 0 con una combinación de sonidos contínuos (a partir de ahora los denominaremos sonidos de tipo línea) y vamos añadiendo sonidos no contínuos (a partir de ahora los llamaremos de tipo punto) hasta que en 3, ninguno lo es, y luego procedemos al contrario, logrando así una disposición de los timbres que resulta evidentemente ordenada y modular. Supongamos que establecemos un motivo tímbrico [0, 1, 2, 3, 5, 0]. La sensación para el oído será la de un tránsito suave de los sonidos línea a los de tipo punto y luego un regreso rápido a los de tipo línea, que se confirmaría en el último paso.
¿Cabría aplicar la técnica del transporte? ¿Tendría sentido musical? Para comprobarlo, transportemos a la combinación 3.
En forma gráfica.

Nos da

En forma modular, sumando 3 a cada miembro de [0, 1, 2, 3, 5, 0], nos sale [3, 4, 5, 6, 8, 3]. Como 6 y 8 exceden las 6 combinaciones que hemos establecido, restamos 6, hasta conseguir números entre 0 y 5, con lo que nos queda [3, 4, 5, 0, 2].
Podemos observar que vuelve a tener perfecto sentido musical, en este caso una transición suave de los sonidos punto a los línea, una brusca a los de tipo punto y una confirmación final.
Resulta evidente que podemos aplicar el mismo tipo de operaciones para crear los análogos de inversión, retrogradación e inversión retrograda, y de los transportes de cada una de ellas (si no resulta evidente, comentadlo).
Dos cosas quedan por comentar. La primera, que no en todos los casos va a resultar tan evidente la posibilidad de modularizar los parámetros que deseemos. Lanzo la afirmación, que espero que discutáis, de que la modularización es siempre arbitraria, incluso en el caso de las alturas, añadiendo inmediatamente que esa arbitrariedad supone una decisión por parte del compositor de sustentar parte de la forma de la obra en el parámetro elegido (sobre este tipo de arbitrariedad, tendré ocasión de comentar cosas en un próximo artículo).
La segunda, es para mí la más importante. Creo que uno de los resultados más extraordinarios del serialismo integral es la idea de poder confeccionar escalas de elementos diferentes a la altura. Esta posibilidad de escalizar elementos ha sobrevivido mucho y bien al serialismo integral, y supone un grado de enriquecimiento de la música notable, en la medida en que abre todos los parámetros musicales a la posibilidad de sustentar la forma.
Termino con esto esta subserie. En otro orden de cosas, anuncio que los siguientes artículos con contenidos matemáticos no tendrán por título “Música y matemáticas”, para no tener que llevar cuentas de qué número y letra habéis leído o dejado de leer. En su lugar, abro una categoría nueva (la podéis ver en la barra azul de la izquierda de la portada) con ese título.

Enlace permanente a este artículo: http://enriqueblanco.net/2004/09/musica-y-matematicas-2d/

7 comentarios

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    • Carlos on 18 septiembre, 2004 at 17:45
    • Responder

    ¿Takemitsu uso algun procedimiento parecido en “a flock descends into a pentagonal garden”¿¿

  1. ¿Parecido a cuál, Carlos? Hablo de muchos. Sí que empleó varios procedimientos numéricos en esa obra, pero no del todo semejantes a los que aquí comento. Sigo emplazandoos al artículo larguísimo que pondré por aquí tras el curso de Takemitsu.

    • Carlos on 19 septiembre, 2004 at 11:56
    • Responder

    Bueno.. hablaba en general, sobre el intento de dar unidad a la obra y el transporte.
    Estos articulos estan muy bien, t iba a sugerir q los pusieras todos dentro d un mismo texto en “trabajos y escritos” claro que le kitaria la interactividad q dan estando en el blog.
    La duda que tengo es que, (ya sabras de antemano y mejor q yo) existen otros usos de las matematicas dentro de la musica, como la estocástica en las composiciones de Stockhausen, las graficas en Xenakis, y demas compositores como Glass, Varése, etc q no has nombrado en esta subserie. ¿a que se debe? ¿piensas hacer una segunda parte de “musica y matematicas”? 😉
    Y ya por ultimo sugerirte una especie de “bach en accion” con algun compositor de la 2ª Escuela de Viena si no queden aun herederos de dichos compositores cobrando derechos de autor. Seria divertido ver como ha evolucionado el concepto de unidad dentro de una obra a lo largo del tiempo. 😀
    PD ¿que es eso de las Pitch Classes?

  2. Gracias por tus comentarios. La verdad es que, por el momento, prefiero que queden en el blog. Me resulta mucho más rápido hacerlos. Y la interactividad, cuando la dáis, la agradezco. Y sí, mucho sabe de eso Takemitsu.
    Sí habrá más sobre matemáticas y música, aunque no con ese título. Próximamante habrá algo sobre usos numéricos cabalístico y constructivos (Fibonacci y Bartok) . Stockhausen y Xenakis también aparecerán, pero no en breve.
    Sobre lo de hacer un Schoenberg en acción, me da miedo la política intransigente de la SGAE y otras sociedades, recientemente, la verdad. Es bastante evidente que van a buscar con quién dar un ejemplo en octubre. Hasta que la cosa se aclare, me reduciré a ejemplos, como mucho, del XIX.
    Muchísimas gracias por decir que la serie te ha gustado. Eso me anima a seguir escribiendo.
    Lo de las Pitch classes es un concepto bastante esencial en ciertas teorías norteamericanas. Su resumen más conciso es que una nota es la misma independientemente de su octava.

    • Carlos on 20 septiembre, 2004 at 0:24
    • Responder

    No intento poner politica de por medio pero recuerdo akel dia en el q el PSOE dijo q cederle terreno a la SGAE, alguien sabe q novedades kiere imponer la nueva “ley seca” de la sociedad d autores?

  3. Copiado de Contraindicaciones
    Nonagésimo quinto. Se modifica el artículo 270, que queda redactado como sigue:
    1. Será castigado con la pena de prisión de seis meses a dos años y multa de 12 a 24 meses quien, con ánimo de lucro y en perjuicio de tercero, reproduzca, plagie, distribuya o comunique públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la autorización de los titulares de los correspondientes derechos de propiedad intelectual o de sus cesionarios.
    2. Será castigado con la pena de prisión de seis meses a dos años y multa de 12 a 24 meses quien intencionadamente exporte o almacene ejemplares de las obras, producciones o ejecuciones a que se refiere el apartado anterior sin la referida autorización. Igualmente incurrirán en la misma pena los que importen intencionadamente estos productos sin dicha autorización, tanto si éstos tienen un origen lícito como ilícito en su país de procedencia; no obstante, la importación de los referidos productos de un Estado perteneciente a la Unión Europea no será punible cuando aquellos se hayan adquirido directamente del titular de los derechos en dicho Estado, o con su consentimiento.
    3. Será castigado también con la misma pena quien fabrique, importe, ponga en circulación o tenga cualquier medio específicamente destinado a facilitar la supresión no autorizada o la neutralización de cualquier dispositivo técnico que se haya utilizado para proteger programas de ordenador o cualquiera de las otras obras, interpretaciones o ejecuciones en los términos previstos en el apartado 1 de este artículo.

    • Carmen on 18 abril, 2005 at 18:07
    • Responder

    Hola!
    Soy una estudiante de arquitectura que, buscando un dia por internet sobre las implicaciones matematicas en las lacerias y mosaicos arabes, su deribacion matematica y la componente musical de esta, me tropece con esta weblog…
    Escribo para decirte que me ha encantado lo que has escrito en ella sobre estos conceptos y que, quizas, tu puedas orientarme sobre ciertas preguntas que me he planteado recientemente derivadas de la lectura de ciertos libros en los que se habla de una implicacion matematica y musical que puede traducirse en la arquitectura pero que no he encontrado forma de analizar… mis conocimientos sobre solfeo y musica no me lo permiten asi que, bueno, si te parece una cuestion interesante, quieres contarme algo o lo que sea sobre este tema, escribeme, y hablamos…
    Saludos!
    Carmen

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