Sep 10 2004

Música y matemáticas (2b)

Técnicas de transformación temática del contrapunto. Similitudes con la simetría. Cálculo numérico.


En el capítulo anterior, veíamos como una técnica sencilla como el transporte servía para producir unidad dentro de una obra. Muchas otras son posibles, pero dentro de las estrictamente referidas a alturas, son muy usuales las llamadas transformaciones temáticas del contrapunto, nombre por cierto que puede dar lugar a error, puesto que no es necesario que haya contrapunto o incluso polifonía en la obra para que su empleo sea frecuente.
Una de las ventajas que nos proporcionaba el transporte era la de provocar simultáneamente unidad y variedad. Es evidente que cualquier técnica de este tipo nos va a resultar extraordinariamente útil, por su economía.
La primera técnica se denomina inversión o movimiento contrario. Consiste en respetar el perfil melódico, pero invertir la dirección del intervalo. Es decir: los saltos melódicos ascendentes los convertimos en descendentes y viceversa.
El ejemplo que veníamos usando era DO- RE- MI- SOL. DO- RE y RE- MI son segundas ascendentes, así contestaremos con segundas descendentes, DO-SI y SI-LA. MI- SOL es una tercera ascendente, así que contestaremos con una tercera descendente desde LA, LA- FA, así que la inversión será DO- SI- LA- FA
Dentro de nuestra analogía gráfica, significa que

se convierte en

que, como podemos observar, es claramente la figura simétrica al original.
Numéricamente, expresábamos DO- RE- MI- SOL como [0, 1, 2, 4]. ¿Podemos a partir de estas cifras calcular la inversión?
Sí. Vamos a restar cada uno de estos elementos de 7, que es el número de notas de la escala que hemos elegido emplear.

  • 7-0=7
  • 7-1=6
  • 7-2=5
  • 7-4=3Con lo que nos queda [7, 6, 5, 3].
    Volvemos a encontrarnos con que 7 no está definido. Y la solución es la misma que para el transporte: restamos 7 (o el número de notas que tenga la escala) tantas veces como sea necesario hasta encontrarnos con un número entre 0 y 6 (o entre 0 y el número de notas de la escala). Con lo que nos queda [0, 6, 5, 4], o sea, DO- SI- LA- FA.
    Lógicamente, podemos combinar la inversión y el transporte, de forma que obtenemos una buena cantidad de versiones del material original, que cumplen simultáneamente el objetivo de proporcionar unidad y variedad.
    Antes de continuar, hagamos un par de comentarios sobre estas transformaciones. Es importante saber que el transporte y la inversión son utilizadísimas en la historia de la música occidental, y bastante en la de otras culturas. No por ser procedimientos que pueden modelarse geométrica o numéricamente hay que pensar que sea mecánicos o carentes de calor. Os emplazo para ver en el próximo artículo como Bach puede generar la práctica totalidad del material de una pieza desde estas premisas.
    Hay también que decir que estos procedimientos se aplican empleando el sentido común. Hay materiales que funcionan especialmente bien o especialmente mal al someterlos a la inversión a a cualquier otra de las transformaciones. No hay ni que decir que el compositor empleará los que funcionen bien.
    El siguiente procedimiento se denomina retrogradación. Hasta ahora, nos ha sido cómodo ignorar que las notas que hemos elegido tienen un determinado orden. Ahora necesitamos tenerlo en cuenta. En forma de notas, no hay problema: DO- RE- MI- SOL en su orden normal de lectura aporta toda la información.
    En forma gráfica, podemos indicar el orden empleando una flecha.

    Y en forma numérica, sigue valiendo el orden normal de lectura.
    Pues bien, la retrogradación va a consistir en comenzar desde la última nota hasta alcanzar la primera, o, sí preferís, en leer de derecha a izquierda las notas.
    DO-RE- MI- SOL se convierte en SOL- MI- RE DO.

    se convierte en
    7e.jpg
    Y [0, 1, 2, 4] se convierte en [4, 2, 1, 0]
    La última técnica de transformación temática se denomina inversión retrógrada, y consiste en la aplicación de la inversión y la retrogradación simultáneamente. El orden en que se apliquen es irrelevante, puesto que nos saldrá la misma estructura interválica, aunque transportada, según empecemos por una u otra.
    DO- RE- MI- SOL se convierte en FA- LA-SI-DO
    En forma gráfica, aplicamos la simetría y cambiamos el orden de lectura.

    Y, numéricamente, [0, 1, 2, 4], se convierte en [4, 6, 7, 0].
    Disponemos entonces, para un material melódico dado, de cuatro versiones:

    1. La forma original, que representamos por O.
    2. La forma invertida, que representamos con una I.
    3. La forma retrograda, que representamos con una R.
    4. La forma sometida a inversión retrógrada, que representamos con IR.

    Cada una de estas cuatro versiones puede ser sometida a transporte, de forma que disponemos de 28 (7*4, número de notas de la escala multiplicado por el número de versiones) posibilidades de uso. Más, de hecho, si podemos cambiar la escala de referencia.
    En el próximo artículo de esta subserie, veremos algunas de estas posibilidades en acción.

Enlace permanente a este artículo: http://enriqueblanco.net/2004/09/musica-y-matematicas-2b/

5 comentarios

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    • CESAR BEAS on 1 agosto, 2006 at 22:32
    • Responder

    HOLA, LA VERDAD ME GUSTARIA UE ME ACLARARAN MAS ESTE ESQUEMA. GRACIAS

  1. Bueno, no tienes más que leer el siguiente capítulo. Arriba del todo, donde pone Bach en acción.

    • clara pacheco on 3 abril, 2007 at 0:49
    • Responder

    empece a estudiar solfeo y me siento feliz de poder empezar a encontrar cosas como estas, que interesante. Aunque hasta ahora empiezo abrir los ojitos pero debe ser maravilloso poder llegar a manejar este mundo majestuoso donde seres como BACH Y los grandes musicos se extasiaron. deseo empezar a degustar estas mieles. gracias.

  2. no se entiende nada!!!!!

  3. no entiendo por qué el resultado numérico de la inversión no es [0,6,5,4] y el de la inversión retrógrada [3,5,6,0]

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