Sep 07 2004

Música y matemáticas (2a)

Creación básica de forma musical. Transportes. Equivalentes gráficos. Modularidad de las alturas.


En esta subserie de artículos (los que llevan por título Música y matemáticas 2, y una letra), comenzaré desde conceptos muy básicos para músicos que pueden no serlo tanto para matemáticos y viceversa. Cuando acabe la subserie (tres o cuatro artículos), algunos elementos que muchos músicos consideran crípticos del serialismo integral, deberían quedar más claros. También será útil a quién quiera desarrollar aplicaciones informáticas que se refieran a música. Y a los demás, os deseo que al menos os divirtáis.
Empecemos, pues.
Una de las cosas más necesarias para que la música “funcione” es que tenga unidad. Es claro que una cantidad de sonidos que se relacionen entre sí sin nada que los relacione (digamos las esquilas de un hato de ovejas, superpuestas al murmullo de un rio, mientras pasa un helicóptero y al lado otro excursionista tiene la radio demasiado alta), va a ser difícil de percibir como experiencia musical unitaria, aunque puede admitirse que haya quien disfrute de tal experiencia sonora.
Necesitamos más bien algo que nos haga pensar que la obra se relaciona consigo misma, que cada momento que oímos, se relaciona con los que hemos oído o los que nos quedan por oír —las formas en que se puede conseguir esto son incontables, y no excluyen el contraste—.
Dentro de las formas más primitivas —que está lejo de significar toscas— de conseguir esto, tenemos la repetición de una línea melódica no demasiado larga. Esta repetición aportará unidad a la obra, logrando que nuestro oído alcance satisfacción. Esta práctica es el origen, por ejemplo, de todas las formas musicales basadas en el ostinato.
Lo malo de este procedimiento es que puede, fácilmente, producir demasiada unidad, y acabar resultando aburrido. Dentro de unos párrafos comenzaremos a encontrar alternativas a esta monotonía.
Otra de las posibilidades para crear unidad es limitar el rango de frecuencias con que trabajamos: en lugar de emplear todo el espectro de frecuencias comprendido entre los 40 y los 20.000 Htz que abarca el oído humano, limitamos estas frecuencias a unas pocas (según mis conocimientos, ésto ha sido universal en todas las culturas hasta la aparición de instrumentos electrónicos). Así, elegimos unas pocas frecuencias con las que trabajar, y formamos escalas.
El intervalo de octava, por motivos en parte físicos (es singularmente presente en la naturaleza) y en parte biológicos (el registro de mujeres y hombres cuando cantan juntos difiere normalmente en esa cantidad), acaba dominando la elección de esas frecuencias, de forma que lo usual en todas las culturas es que dentro de una octava se elijan ciertas frecuencias y se repitan en todas las demás. Los pocos casos en que eso no ha sido exacto —hablo de músicas populares—, es cuando se ha dispuesto de instrumentos —las steel drums tropicales, por ejemplo—, cuyo rendimiento difiere en cada octava.
Con esto llegamos a que las escalas se han tratado de una forma que, a partir de ahora, denominaremos modular. Si observamos un reloj, no nos parece ilógico que después de las doce venga la una. O a quien juegue bien a las cartas —no es mi caso—, tampoco le parecerá extraño que en la baraja francesa después de la reina y el rey vengan el as y el dos. Son casos, por así decirlo, en que imponemos un orden pero no un principio y un fin.
Observemos una escala diatónica normal.

Podemos observar que he optado por representarla en círculo. A todos nos han hecho en el colegio aprender “do, re mi, fa, sol, la, si, DO”, y si no, las andanzas de la familia Trapp se han encargado de lo mismo. Por tanto es sensato adoptar una disposición circular que represente esta modularidad.
Aquí podemos observar lo mismo con una escala cromática.

Volvamos ahora a cómo usar repeticiones y aportar además de unidad, variedad. Para nuestro ejemplo, digamos que el fragmento melódico que deseamos repetir es DO- RE- MI- SOL, que represento a continuación como una figura geométrica dentro de la escala diatónica.

Una primera posibilidad consistiría en lo que llamamos transportar, que consistiría en repetir las mismas distancias desde una nota diferente, si comenzamos desde RE, que es la siguiente a DO, tenemos que:

  • La siguiente a RE, es MI
  • La siguiente a MI, es FA
  • La siguiente a SOL, es LA

De forma que nuestro D0-RE-MI-SOL, se transforma en RE- MI- FA- LA. El oído se sorprende ante lo nuevo, reconoce el parentesco y queda satisfecho, lo que es una suerte porque es un procedimiento de construcción melódica que ha marcado la inmensa mayoría de la música, de, por ejemplo, Bach —un caso diáfano es la invención número 1— o Mozart.
Es una operación equivalente a un giro, si seguimos con nuestra analogía visual..

Otra forma en que podríamos haber hecho esto es numerando las notas:

  • Do=0
  • Re=1
  • Mi=2
  • Fa=3
  • Sol=4
  • La=5
  • Si=6

Con lo que nuestro DO- RE- MI- SOL, se convierte en [0, 1, 2, 4].
Puesto que la diferencia entre 0 y 1 (do y re, a donde queremos transportar el fragmento) es uno, no tenemos más que añadir 1 a cada miembro de esta hilera de números para conseguir [1, 2, 3, 5], que al retraducir, nos da RE- MI- SOL- LA. Los músicos quizá podamos pensar que es más difícil hacerlo así, pero es un procedimiento que conviene conocer, por varias razones:

  1. Va, en un futuro, si así lo deseamos, a posibilitarnos transportar, o su análogo, elementos diferentes a la altura.
  2. A las máquinas se les da mucho mejor sumar que el solfeo. Planteándole las cosas de esta forma a un ordenador, podemos lograr que transporte sin problemas la integral de las sinfonías de Mozart en cosa de segundos, o menos, cosa que es práctica hasta el exceso, como cualquiera que toque instrumentos transpositores o haya escrito para ellos sabe perfectamente. —Nota: estoy ignorando deliberadamente la asignación de octava de las alturas para simplificar—

Es obvio que para un transporte ascendente debemos sumar, y para uno desdendente, restar.
Hay sin embargo, un problema con este procedimiento. Supongamos que quiero fransportar el fragmento a FA. La diferencia entre DO y FA es 3, con lo que [0, 1, 2, 4], se convertiría en [3, 4, 5, 7]. Y resulta que 7 no lo tenemos definido en la tabla anterior.
La solución es restar 7 (el número de notas de esta escala) de todo número mayor o igual que 7, tantas veces como sea necesario hasta obtener un número entre 0 y 6. De la misma forma, si en algún momento obtuviésemos resultados negativos, habría que sumar 7, hasta conseguir lo mismo.
Termino este artículo apuntando que con otras escalas de un número diferente de notas, los resultados serían distintos en el transporte. En la escala cromática, DO- RE- MI- SOL se convertiría en RE- MI- FA#- LA. En los grafismos,

se convertiría en

Y, obviamente, en el procedimiento numérico, hay que numerar de 0 a 11, y restar o sumar doces en consecuencia.
En un próximo artículo veremos como con procedimientos gráficos y numéricos como estos, podemos modelar el resto de las transformaciones temáticas del contrapunto.

Enlace permanente a este artículo: http://enriqueblanco.net/2004/09/musica-y-matematicas-2a/

10 comentarios

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    • Dário Antão Dias on 4 septiembre, 2005 at 18:27
    • Responder

    Agradeço a oportunodade de fazer esse curso.
    É nota dez.

    • eddy on 14 septiembre, 2005 at 21:44
    • Responder

    quisiera saber mas de su teoria ya que la matematica tiene varias aplicaciones y una de ellas es juastamente la musica.Envienme porfavor mas informacion

  1. Me gusto mucho el tema de las matemáticas y la música, será que tienen más temas relacionados. Si los tienen por favor haganmelas llegar. Gracias.

    • karinita on 17 noviembre, 2006 at 15:21
    • Responder

    Mi tema es la mat y la musica…y quiero saber ++, pero explicado mas en la parte de la musica pues yo estudio matematicas y no sé nada de musica, y para una buena enseñanza de las matematicas, hoy en día requiero unir estas areas, pues la juventud se mueve en torno a la musica…

  2. hola…
    me parecio interesenta este sitio de musica y para musicos…
    Estoy haciendo mis estudios en composicion y direccion orquestal en argentina por ahora,me gustaria tener algo de informacion sobre las invenciones a tres voces,ya que no encuentro bibliografia que trate solo este tema,su estructura y su modo operandi…
    gracias!!

  3. hola…
    me parecio interesenta este sitio de musica y para musicos…
    Estoy haciendo mis estudios en composicion y direccion orquestal en argentina por ahora,me gustaria tener algo de informacion sobre las invenciones a tres voces,ya que no encuentro bibliografia que trate solo este tema,su estructura y su modo operandi…
    gracias!!

    • camilithax on 5 octubre, 2007 at 18:05
    • Responder

    super bueno lo q se puede aprender con esta imformacion aunq yo no soy muy matea con mi amiga los felizitamos mucho por lo q hacen . damaris y camila

  4. es buenísimo todo ésto, se lo agradecería si pudiera enviarme a mi información sobre esta relación que comparten la música y las matemáticas porque estoy haciendo un trebajao de investigación sobre ello, sería estupendo. ¡Muchas gracias!

    • hao haghao on 8 febrero, 2008 at 17:25
    • Responder

    vaya mierda de sitiooooo

  5. En la explicación que haces del transporte hay una cosa que no me queda clara y te agradecería que me explicaras. En el caso de una escala cromática, el transporte da lugar a que la tercera nota sea un Fa#, con lo que los intervalos entre notas no se modifican, es decir, hay un tono entre la 1ª y 2ª notas, un tono entre la 2ª y la 3ª, y un tono y un semitono entre la 3º y la 4ª, con lo que la melodía queda igual. Pero en el caso de la escala diatónica, al realizar el transporte la melodía no es la misma, ya que entre la Mi y Fa sólo hay un semitono. Siempre había creido que el transporte ha de respetar los intervalos, pero según comentas no siempre es así.
    Un saludo y felicidades por el excelente web.

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